|Breve História da Teoria de Anéis Siberiana| #1 – Uma Introdução (V.3, N.10, P.15, 2020)

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A álgebra, da forma que é apresentada em cursos universitários, por possuir um caráter abstrato, acaba se tornando de difícil compreensão. Normalmente, uma estrutura é definida a partir dos axiomas (proposições iniciais de uma teoria) que a caracterizam e, a partir daí uma sucessão de teoremas constrói o conhecimento dessa estrutura, ou seja, define as “leis” que regem seu funcionamento. Uma estrutura algébrica normalmente é um conjunto (podemos considerar que seja um conjunto numérico, pois foi assim que as coisas começaram, ou ainda um conjunto formado por matrizes, ou polinômios) munido de uma ou mais operações, enquanto a teoria é desenvolvida com a função de estabelecer as “normas” de funcionamento dessas operações.

Ao se tentar “relaxar” essas normas de funcionamento, ou fazer pequenas alterações nelas, é que surge a pesquisa em álgebra, que procura novas estruturas que tenham regras similares às estruturas conhecidas e tenta classificá-las. Dentro dessa perspectiva, a partir dos anos 1930 ocorreu um crescimento da pesquisa sobre álgebras não associativas, e grande parte dessa pesquisa foi desenvolvida na Sibéria, mais precisamente na região de Novosibirsk. A produção da escola siberiana de álgebra é de grande relevância e atualidade, muitos dos resultados provados recentemente e muita da pesquisa desenvolvida na atualidade é a continuação dos estudos oriundos dessa escola. Além disso, muitos dos pesquisadores da área de álgebra presentes atualmente nas universidades brasileiras são de origem russa.

A proposta desta série é mostrar como essa escola se desenvolveu e se tornou relevante para a pesquisa em álgebra, em especial para a pesquisa em álgebras não associativas. Grande parte do nosso texto foi baseado no texto publicado por Leonid Bokut1, que participou do início da álgebra siberiana e foi, durante toda sua vida, um membro da comunidade científica de Novosibirsk onde pôde testemunhar todas as etapas do crescimento e desenvolvimento da álgebra siberiana. A maioria dos fatos citados está focada no período soviético da história. O texto original foi traduzido, reduzido, corrigido e a ele foram adicionadas informações, tanto no sentido de facilitar sua leitura quanto de enriquecê-la.

COMEÇANDO COM ALGUMAS DEFINIÇÕES

Inicialmente traremos algumas definições básicas para ajudar no entendimento dos fatos narrados. Um espaço vetorial é uma coleção de vetores que podem ser somados um a outro e multiplicados por números, denominados escalares.

Uma álgebra A é um espaço vetorial sobre um corpo F munido de uma operação (chamada de multiplicação) com valores no mesmo espaço vetorial (que denotaremos por justaposição dos elementos de A) satisfazendo:

(α₁x₁ + α₂x₂) (α₃x₃ + α₄x₄) = (α₁x₃)x₁x₃ + (α₁α₄)x₁x₄ + (α₂α₃)x₂x₃ + (α₂α₄)x₂x4,

para quaisquer elementos x₁, x₂, …, x₄ ∈ A; quaisquer elementos α₁, α₂, …, α₄  ∈ F.

São exemplos básicos de álgebras:

1. As matrizes, com o produto usual entre matrizes, é uma álgebra associativa
2. O espaço vetorial ℝ³, munido do produto vetorial usual, é uma álgebra de Lie.

• Uma álgebra será dita associativa, se (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ A
• Uma álgebra será dita alternativa se x²y = x(xy) e xy² = (xy)y para todo x, y ∈ A
• Uma álgebra será dita de Jordan se xy = yx e (x²y)x = x²(yx) para todo x, y ∈ A
• Uma álgebra será dita de Lie se xy = −yx e (xy)z + (yz)x + (zx)y = 0 para todo x, y, z ∈ A
• Uma álgebra será dita de Malcev se xy = −yx e (xy)(xz) = ((xy)z)x + ((yz)x)x + ((zx)x)y para todo x, y, z ∈ A

O primeiro exemplo de uma álgebra de Jordan é a álgebra usual de matrizes M_n, substituindo o produto usual pelo produto de Jordan ◦ : M_n × M_n→ M_n definido por

A _° B = 1/2 (AB + BA)     (1)

Essa ideia da introdução de um produto novo (diferente do usual) também pode ser aplicada em qualquer álgebra associativa. É sabido que para cada álgebra associativa, se trocarmos sua multiplicação usual pela multiplicação (1) obteremos uma nova álgebra de Jordan. Se ao invés disso substituirmos a multiplicação usual por

[A, B] = AB – BA     (2)

obteremos uma nova álgebra de Lie.

É óbvio que toda álgebra associativa é uma álgebra alternativa, mas nem toda álgebra alternativa munida da multiplicação (2) será uma álgebra de Lie, porém, sempre será uma álgebra de Malcev. A noção de álgebra de Malcev é mais geral do que a de álgebra de Lie: toda álgebra de Lie é uma álgebra de Malcev, mas a recíproca nem sempre é verdadeira.

Para o leitor interessado em se aprofundar no assunto, por exemplo, em definições mais específicas, como álgebras simples, álgebras nilpotentes, álgebras solúveis entre outras que aparecerão ao longo do texto, recomendamos as notas de aula do minicurso feito por Luiz Antonio Peresi. Para simplificar a busca pelos resultados mencionados, indicaremos ao longo do texto o ano da publicação desses resultados nas revistas internacionais.

No próximo episódio da série “teoria de Anéis Siberiana”, conheceremos os fundadores da teoria em Novosibirsk, Anatoly Malcev e Anatoly Shirshov, e suas contribuições para o estudo e evolução dos conceitos da Álgebra, não percam.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1 L. A. Bokut. Early history of the theory of rings in Novosibirsk. Bul. Acad. S¸tiint¸eRepub. Mold. Mat. 2017, no. 2 (84), 5–23