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Existem infinitos maiores que outros? (V.3, N.2, P.1, 2020)

Tempo de leitura: 4 minutos
#acessibilidade Vários lances de escada laranja e branca iguais dando a impressão de infinitude.

Primeiramente precisamos esclarecer uma coisa sobre o infinito: ele não é um número, é um conceito. O infinito não tem fim. Metade de infinito, ainda é infinito. Duas vezes infinito, ainda é infinito. Infinito mais um ou menos um não deixa de ser infinito. Mas então, é possível que um infinito seja maior que o outro?

Talvez a ideia de infinito ainda não tenha ficado clara, então usemos um exemplo. Suponha que você tenha uma quantidade de tempo infinita, um macaco, uma máquina de escrever e muita paciência. Em um período de tempo infinito, o macaco conseguiria datilografar uma obra completa de Shakespeare. Digamos que a máquina de escrever tenha 48 teclas. A chance de o macaco escolher uma tecla específica é de uma em quarenta e oito. Assim, a chance de o macaco conseguir escrever as letras “guia”  nesta ordem é de 1/48 * 1/48 * 1/48 * 1/48 = 1/5308416, ou seja, de uma em cinco milhões e trezentos e oito mil e quatrocentos e dezesseis. Hamlet é uma obra longa, com muito mais do que quatro letras. Ainda assim, em um tempo infinito, o macaco conseguiria reproduzí-la (mesmo com eventuais pausas para necessidades básicas, como comer bananas).

Mas isso não responde à pergunta inicial. Um infinito pode ou não ser maior que outro? Bom, vou explicar de duas formas, uma chata e uma divertida (depois você me diz qual é qual).

Primeiro vamos precisar relembrar o que são conjuntos numéricos. Os números naturais são números inteiros não-negativos. É o mais simples de todos, você pode usar para contagem. Se você tentasse contar os números naturais (um, dois, três, quatro…), jamais conseguiria chegar ao fim deles, porque os números naturais são infinitos (pode tentar). Os números reais também são infinitos e englobam todos os números positivos e negativos, inteiros e fracionários.

Os dois são infinitos, mas o conjunto dos reais é maior que o dos naturais. Confuso? Se listarmos os dois conjuntos e para cada número natural existir um número real, então eles têm o mesmo tamanho. Suponhamos que isso seja verdade:

Natural Real
1 3,14
2 4,815162342
3 273,15
4 42

Até aqui deu tudo certo, mas eles são infinitos e para listá-los eu precisaria de tempo infinito, o que infelizmente não tenho. Vamos tentar uma abordagem diferente: ao invés de usar todos os reais, vamos usar só aqueles entre 0 e 1.

Natural Real
1 0,123456789…
2 0,5318008…
3 0,03022020…
4 0,8121991…

Para que os dois tenham o mesmo tamanho, todos os números reais entre 0 e 1 precisam estar listados, mas não estão. Você consegue encontrar um número real que não esteja? É fácil, basta escolher um números cuja n-ésima casa decimal seja diferente da correspondente no n-ésimo número real listado. Calma que já vai ficar claro. Vamos usar os mesmo quatro exemplos que usamos acima. Para escolher nosso número, que será diferente de todos os listados, vamos garantir que para cada número listado, nosso número tenha uma casa decimal diferente dele:

0,123456789…

0,5318008…

0,03022020…

0,8121991…

___________

0,2412…

O número 1 da lista é 0,123456789… e para garantir que nosso número seja diferente dele, vamos escolher começar com 0,2. O número 2 é 0,5318008…, então vamos escolher um 4, assim ficamos com 0,24. O número 3 é 0,03022020… e o número 4 é 0,8121991…, assim escolhemos 1 e 2, respectivamente, ficando com 0,2412. Para o número n da lista, escolhemos um valor para a n-ésima casa decimal do nosso número que seja diferente da n-ésima casa decimal do n-ésimo número. Para o primeiro da lista, a primeira casa decimal tem um 1, por isso escolhemos um 2, porque não importa qual seja o restante do nosso número, ele já é diferente do primeiro da lista. Mesmo com nossa lista com tamanho igual à quantidade de números naturais (infinita), sempre será possível encontrar um número real entre 0 e 1 que não está nela seguindo esse procedimento.

Outra forma de perceber que há infinitos maiores que outros é pensar em uma árvore de infinitos galhos. Essa árvore começa com apenas um galho que se divide em dois. Então cada um deles se divide em dois e estes se dividem em dois. Cada novo galho de divide em dois. Se você tentasse encontrar o fim desta árvore de forma que em cada bifurcação escolhesse um galho a seguir, perceberia que o caminho escolhido é infinito. Mesmo que este caminho seja infinito, a quantidade total de galhos na árvore, que também é infinita, é muito maior.

Fontes:

Fonte da imagem destacada: Photo by Szabo Viktor on Unsplash

ROSEN, K. H. Matemática discreta e suas aplicações. 6. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem

Para saber mais:

https://super.abril.com.br/ciencia/infinito-esse-troco-que-nao-acaba/

Outros divulgadores:

Vídeo “O que é o infinito? Uma explicação curta” do canal BBC News Brasil no YouTube

Vídeo “Como Contar o Infinito” do canal Minuto da Física no YouTube

Vídeo “INFINITOS MAIORES DO QUE OUTROS?” do canal Guru da Ciência no YouTube

Vídeo “O Paradoxo do Hotel Infinito – Jeff Dekofsky” do canal TED-Ed no YouTube

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